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name: evaluate-boolean-expression locale: wenyan source_locale: en source_commit: 82c77053 fence_basis_commit: 82c77053 translator: "Julius Brussee homage — caveman" translation_date: "2026-04-24" description: > Evaluate and simplify Boolean expressions using truth tables, algebraic laws (De Morgan, distributive, absorption, idempotent, consensus), and Karnaugh maps for up to six variables. Use when you need to reduce a Boolean expression to its minimal sum-of-products or product-of-sums form, verify logical equivalence between two expressions, or prepare a minimized function for gate-level implementation. license: MIT allowed-tools: Read Grep Glob WebFetch WebSearch metadata: author: Philipp Thoss version: "1.0" domain: digital-logic complexity: basic language: multi tags: digital-logic, boolean-algebra, truth-tables, karnaugh-maps, simplification

評布爾式

化布爾式為最簡：解為範式、造真值表、施代數簡化律、行 K 圖最簡（至六變）、驗簡式與原式等價。

用時

• 映邏輯閘前簡布爾式
• 驗二布爾式邏輯等價
• 生最簡和積式（SOP）或積和式（POS）
• 授或復布爾代數恆等與化約
• 備 design-logic-circuit 之入

入

• 必要：布爾式（任常記，如 A AND (B OR NOT C)、A * (B + C')、A & (B | ~C)）
• 必要：目標式——最簡 SOP、最簡 POS、或二者
• 可選：K 圖變序之偏
• 可選：無關條件（未定之 minterm 或 maxterm）
• 可選：欲對之第二式以驗等價

法

第一步：解析化範

轉入式為標準內表：

1. 分詞：識變（單字母或短名）、運符（AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR）、組（括號）
2. 立運符記：通用一式——* 為 AND，+ 為 OR，' 為 NOT（補），^ 為 XOR
3. 定變數：列諸獨變。各分位（默 A = MSB, ... Z = LSB，或用所供序）
4. 展為範 SOP：引 X = X*(Y + Y') 填缺變，展為諸 minterm 之和
5. 展為範 POS：或以 X = X + Y*Y' 展為諸 maxterm 之積

## Normalized Expression
- **Variables**: [A, B, C, ...]
- **Variable count**: [n]
- **Original expression**: [as given]
- **Canonical SOP (minterms)**: Sigma m(i, j, k, ...)
- **Canonical POS (maxterms)**: Pi M(i, j, k, ...)
- **Don't-care set**: d(i, j, ...) [if any]

得： 式轉為範 SOP 及/或 POS，諸 minterm/maxterm 明列，無關條件分置。

敗則： 若式有語誤或運符優先模糊，請澄。標優先為：NOT（最高）> AND > XOR > OR（最低）。若變逾 6，K 圖步須改 Quine-McCluskey 算法。

第二步：造真值表

造全真值表以立函於諸入組合之行：

1. 列行：生 2^n 諸入組合，按二進計序（000、001、010……）
2. 算出：各行代入原式算出（0 或 1）
3. 標無關：若供無關條件，記彼行 X 而非 0 或 1
4. 與 minterm 對：驗出 1 之行合第一步 minterm 列

## Truth Table
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | _ |
| 0 | 0 | 1 | _ |
| ... | ... | ... | ... |

得： 全真值表 2^n 行，出合範式，無關正標。

敗則： 若真值表與範式不合，復察第一步之展。常誤於展中誤用 De Morgan 律——各展步獨驗。

第三步：施代數簡化

以布爾代數恆等化約：

1. 恆等與空律：A + 0 = A、A * 1 = A、A + 1 = 1、A * 0 = 0
2. 冪等律：A + A = A、A * A = A
3. 補律：A + A' = 1、A * A' = 0
4. 吸收律：A + A*B = A、A * (A + B) = A
5. De Morgan 定理：(A * B)' = A' + B'、(A + B)' = A' * B'
6. 分配律：A * (B + C) = A*B + A*C、A + B*C = (A + B) * (A + C)
7. 共識定理：A*B + A'*C + B*C = A*B + A'*C（B*C 冗）
8. XOR 簡化：識 A*B' + A'*B = A ^ B 之模
9. 各步記：每律後書式，引所用之律

## Algebraic Simplification Trace
1. Original: [expression]
2. Apply [law name]: [result]
3. Apply [law name]: [result]
...
n. Final algebraic form: [simplified expression]

得： 逐步化約，各律明引，收斂於簡式。跡供等價可驗之證。

敗則： 若無法再簡而非最簡，進第四步（K 圖）。代數法不保全局最小——賴律施之序。

第四步：以 K 圖最簡

用 K 圖以求可證之最簡 SOP 或 POS（至六變）：

1. 畫 K 圖：軸以 Gray 碼排
   • 2 變：2x2 格
   • 3 變：2x4 格
   • 4 變：4x4 格
   • 5 變：二 4x4 格（疊）
   • 6 變：四 4x4 格（疊）
2. 填格：於相應格置 1（minterm）、0（maxterm）、X（無關）
3. 聚鄰 1：造 1、2、4、8、16、32 鄰格之矩形組（唯 2 之冪）。組可繞邊。含無關於組若能大之
4. 取主質涵：各組得一積項。組中常變留，變者去
5. 擇要主質涵：識唯一主涵覆之 minterm——彼涵為要
6. 覆餘 minterm：用最少主涵覆未覆者（若需 Petrick 法）
7. 書最簡式：合所擇主涵為最簡 SOP。最簡 POS 則聚 0

## K-map Result
- **Prime implicants**: [list with covered minterms]
- **Essential prime implicants**: [list]
- **Minimal SOP**: [expression]
- **Minimal POS**: [expression, if requested]
- **Literal count**: [number of literals in minimal form]

得： 最簡 SOP（及/或 POS）字數至少，諸主質涵與要主涵皆記。

敗則： 若聚模糊（多最簡覆），列諸等價最簡式。若變逾 6，轉 Quine-McCluskey 表法或 Espresso 啟發，並記法之變。

第五步：驗簡式合原

確簡與原邏輯等價：

1. 真值表較：算簡式於諸 2^n 入組合，較第二步真值表。諸非無關行必合
2. 代數證（可選）：以第三步律自簡導原（或反之）
3. 要例察：驗全零入、全一入、及涉巧步之入
4. 記結：明是否等價，記末最簡式

## Equivalence Verification
- **Method**: [truth table comparison / algebraic proof / both]
- **Mismatched rows**: [none, or list row numbers]
- **Verdict**: [Equivalent / Not equivalent]
- **Final minimal expression**: [the verified result]

得： 簡式於諸非無關入合原。末最簡式明列。

敗則： 若有行不合，循第三、四步追誤。常因：K 圖聚不正（非矩或非 2 冪）、忘繞邊鄰、誤聚 0 格。

驗

• 原式諸變皆錄
• 範 SOP/POS 列正 minterm/maxterm
• 真值表恰 2^n 行出正
• 無關條件處正（含於組而不求於覆）
• 代數諸步各引具體律而可獨驗
• K 圖二軸皆用 Gray 碼
• K 圖諸組皆矩且大為 2 冪
• 要主質涵正識
• 簡式於諸非無關入合原
• 末式字數最少

陷

• K 圖鄰誤：忘 K 圖最左與最右列（及上下行）相鄰。繞邊於求最大組要
• 非 2 冪組：聚 3 或 5 格。每 K 圖組必含 1、2、4、8、16、32 格。不規之組不對應有效積項
• 略無關：視無關為 0 而不用其擴組。無關於能簡式時納組，然不可必於覆
• 運符優先誤：視 AND 與 OR 優先同。標布爾優先為 NOT > AND > OR。誤讀 A + B * C 為 (A + B) * C 而非 A + (B * C)，函全易
• 止於代數簡：代數法或得局部最小，非全局。必以 K 圖（或 >6 變之 Quine-McCluskey）對以確最簡
• 混 minterm 與 maxterm：minterm 乃 AND 項（積項），見於 SOP；maxterm 乃 OR 項（和項），見於 POS。三變之 m3 為 A'BC；M3 為 A+B'+C'

參

• design-logic-circuit — 映最簡式為閘級電路
• argumentation — 結構邏輯推理，共形邏基