---

name: analyze-prime-numbers locale: wenyan-ultra source_locale: en source_commit: 82c77053 fence_basis_commit: 82c77053 translator: "Julius Brussee homage — caveman" translation_date: "2026-04-19" description: > Analyze prime numbers using primality tests, factorization algorithms, prime distribution analysis, and sieve methods. Covers trial division, Miller-Rabin, Sieve of Eratosthenes, and the Prime Number Theorem. Use when determining whether an integer is prime or composite, finding prime factorizations, counting or listing primes up to a bound, or investigating prime properties within a number-theoretic proof or computation. license: MIT allowed-tools: Read Bash metadata: author: Philipp Thoss version: "1.0" domain: number-theory complexity: intermediate language: multi tags: number-theory, primes, primality, factorization, sieve

析素

擇行算：素測、分解、分析。算驗結而合素定理。

用

• 判某整為素或合→用
• 求整全素分→用
• 限內計或列素→用
• 驗某範素定理近→用
• 數論證或算察素性→用

入

• 必：析之整或分析之限
• 必：類——素測、分解、分析
• 可：偏算（試除、Miller-Rabin、Eratosthenes 篩、Pollard rho）
• 可：出形證或唯算判
• 可：出式（因樹、素列、計、表）

行

一：定類

請分為三類擇算路。

1. 素測：給整 n，判 n 為素否
2. 分解：給合 n，求其全素分
3. 分析：給限 N，析 N 內素（計、列、隙、密）

錄類與入值。

得：明分附入值錄。

敗：入含糊（如「析 60」）→請用者明素測、分解、分析。合默為分解，疑素默為素確。

二：施素測（若類=素測）

按 n 大配算測 n 為素否。

1. 平案：n < 2 非素。n = 2 或 3 為素。n 偶且 > 2 為合。

2. 小 n（n < 10^6）：用試除。

   • 試除諸素 p 至 floor(sqrt(n))
   • 優：試 2、後奇 3、5、7…或用 6k +/- 1 輪
   • 無除則 n 素

3. 大 n（n >= 10^6）：用 Miller-Rabin 概測。

   • 書 n - 1 = 2^s * d，d 奇
   • 各證 a 於 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}：
     • 算 x = a^d mod n
     • x = 1 或 x = n - 1→此證過
     • 否方 x 至 s - 1 次。x 嘗等 n - 1→過
     • 無過→n 合（a 為證）
   • n < 3.317 * 10^24 之 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37} 證為定

4. 錄判：素或合，附證或證書。

首二十五素：

Index	Prime	Index	Prime	Index	Prime
1	2	10	29	19	67
2	3	11	31	20	71
3	5	12	37	21	73
4	7	13	41	22	79
5	11	14	43	23	83
6	13	15	47	24	89
7	17	16	53	25	97
8	19	17	59
9	23	18	61

得：定答（素或合）附用算與所見證或除。

敗：Miller-Rabin 報「概素」而需確→升至定測（如 AKS 或 ECPP）。試除算太慢→換 Miller-Rabin。

三：施分解（若類=分解）

全分 n 為其素冪分。

1. 以試除取小因：

   • 除 2 盡，錄冪
   • 除奇素 3、5、7、11…至截（如 10^4 或小 n 之 sqrt(n)）
   • 各除後更 n 為剩餘因

2. 若餘 > 1 且 < 10^12：續試除至 sqrt(餘)。

3. 若餘 > 1 且 >= 10^12：施 Pollard rho。

   • 擇 f(x) = x^2 + c (mod n) 隨 c
   • 用 Floyd 環察：x = f(x)、y = f(f(y))
   • 各步算 d = gcd(|x - y|, n)
   • 1 < d < n→d 為非平因。遞於 d 與 n/d
   • d = n→以異 c 重試

4. 驗：乘諸素因（附冪）確同原 n。各因素測。

5. 以標式呈：n = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak，p1 < p2 < ... < pk。

算複雜：

Algorithm	Complexity	Best for
Trial division	O(sqrt(n))	n < 10^12
Pollard's rho	O(n^{1/4}) expected	n up to ~10^18
Quadratic sieve	L(n)^{1+o(1)}	n up to ~10^50
GNFS	L(n)^{(64/9)^{1/3}+o(1)}	n > 10^50

得：標式之全素分，乘驗。

敗：Pollard rho 多迭不得因（環察無非平 gcd）→試異 c（至少 5 次）。皆敗→餘或為素，以素測確。

四：施分析（若類=分析）

析 N 內素分。

1. 以 Eratosthenes 篩生素：

   • 建大 N + 1 之布陣，初為真
   • 設 0 與 1 為偽（非素）
   • 各 p 自 2 至 floor(sqrt(N))：
     • p 仍真→標諸倍 p^2、p^2 + p、p^2 + 2p…為偽
   • 收諸仍真之指

2. 計素：算 pi(N) = N 內素數。

3. 比於素定理：

   • PNT 近：pi(N) ~ N / ln(N)
   • 對數積近：Li(N) = integral from 2 to N of 1/ln(t) dt
   • 算相對誤：|pi(N) - N/ln(N)| / pi(N)

4. 析素隙（可）：

   • 算連素隙
   • 報最大隙、均隙、雙生素（隙=2）
   • N 近均隙約 ln(N)

5. 以表呈：

Bound N:       1,000,000
pi(N):         78,498
N/ln(N):       72,382
Li(N):         78,628
Relative error (N/ln(N)):  7.79%
Relative error (Li(N)):    0.17%
Max prime gap:  148 (between 492113 and 492227)
Twin primes:    8,169 pairs

得：素計附 PNT 比與可選隙析。

敗：N 太大不能內存篩（N > 10^9）→用段篩按段處範。唯需計（非列）→用 Meissel-Lehmer 直算 pi(N)。

五：算驗

以獨法交核諸結。

1. 素測：試除用→以快 Miller-Rabin 驗（或反之）。知素查表或 OEIS 序。

2. 分解：乘諸因確同原入。獨測諸宣素因素性。

3. 分析：抽 3-5 篩出之數獨素測。比 pi(N) 於標基出版值（pi(10^k) k = 1, ..., 9）。

pi(N) 出版值：

N	pi(N)
10	4
100	25
1,000	168
10,000	1,229
100,000	9,592
10^6	78,498
10^7	664,579
10^8	5,761,455
10^9	50,847,534

4. 錄驗附用法與果。

得：諸結獨驗無異。

敗：驗示異→重行原算開額察（如試除詳記）。常誤：篩限差一、模算整溢、誤偽素為素。

驗

• 類正分（素、解、布）
• 算合入大
• 平案（n < 2、n = 2、偶 n）通算前處
• 素判定（非「概素」無修飾）
• 分解乘回原
• 諸宣素因皆素測
• 篩限含 sqrt(N) 覆以標合
• PNT 比用正式（N/ln(N) 或 Li(N)）
• 結以獨法或於出版值驗
• 邊例（n = 0、1、2、負入）皆理

忌

• 忘 n = 1 非素：例 1 既非素亦非合。諸算默誤分

• 模冪整溢：Miller-Rabin 算 a^d mod n 樸冪致溢。用模冪（重方各步取模）

• 篩差一誤：篩標合自 p^2 始非 2p。自 2p 浪時但正；自 p+1 誤

• Pollard rho 環 d = n：gcd(|x - y|, n) = n→算得平因。試異多項常 c，非異始點

• Carmichael 數欺 Fermat 測：561 = 3 * 11 * 17 等過諸互素基之 Fermat 素測。恆用 Miller-Rabin 非平 Fermat

• 混 pi(n) 與常 pi：素計函 pi(n) 與圓常 3.14159… 共記。脈須無歧

參

• solve-modular-arithmetic —— 模算為 Miller-Rabin 與諸分解法之基
• explore-diophantine-equations —— 素分為解多 Diophantine 方之前置
• formulate-quantum-problem —— Shor 整分算接素於量算