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name: simulate-stochastic-process locale: wenyan-ultra source_locale: en source_commit: 82c77053 fence_basis_commit: 82c77053 translator: "Julius Brussee homage — caveman" translation_date: "2026-05-03" description: > Simulate stochastic processes (Markov chains, random walks, SDEs, MCMC) with convergence diagnostics, variance reduction, and visualization. Use when generating sample paths for estimation, prediction, or visualization; when analytical solutions are intractable; running Monte Carlo estimation needing convergence guarantees; validating analytical results against empirical simulation; or sampling from complex posteriors via MCMC. license: MIT allowed-tools: Read Write Edit Bash Grep Glob metadata: author: Philipp Thoss version: "1.0" domain: stochastic-processes complexity: advanced language: multi tags: stochastic, simulation, mcmc, convergence, monte-carlo

擬機程

擬機程之樣路——含 DTMC、CTMC、SDE、MCMC——含收歛診、減差、軌示。

用

• 需自機程生樣路為估、測、示→用
• 析解難得、唯擬可行→用
• 行 Monte Carlo 估而需收歛保與不確量→用
• 欲驗析果（穩分、抵時）於實擬→用
• 自繁後分以 MCMC 取樣→用
• 機模試於全析前→用

入

必

Input	Type	Description
process_type	string	Type of process: "dtmc", "ctmc", "random_walk", "brownian_motion", "sde", "mcmc"
parameters	dict	Process-specific parameters (transition matrix, drift/diffusion coefficients, target density, etc.)
n_paths	integer	Number of independent sample paths to simulate
n_steps	integer	Number of time steps per path (or total MCMC iterations)

可

Input	Type	Default	Description
initial_state	scalar/vector	process-specific	Starting state or distribution for each path
dt	float	0.01	Time step size for continuous-time discretization
seed	integer	random	Random seed for reproducibility
burn_in	integer	n_steps / 10	Number of initial steps to discard (MCMC)
thinning	integer	1	Keep every k-th sample to reduce autocorrelation
variance_reduction	string	"none"	Method: "none", "antithetic", "stratified", "control_variate"
target_function	callable	none	Function to evaluate along paths for Monte Carlo estimation

行

一：定模與參

1.1 識程類、集諸需參：

• DTMC：轉陣 P 與態空。驗 P 為行隨
• CTMC：率陣 Q。驗行和為 0、非對角非負
• 隨步：步分（如 {-1, +1} 等概）、界若有
• Brown：漂 mu、波 sigma、維 d
• SDE（Ito）：漂 a(x,t)、擴 b(x,t)
• MCMC：標對數密、提機（隨步 Metropolis、Hamilton、Gibbs 分量）

1.2 驗參恆：

• 陣維配態空大
• SDE 係滿增與 Lipschitz（至少非形）為所擇解
• MCMC 提於標分支撐良定

1.3 設機種以重現

得：全述機模、參驗、機態可重現。

敗：參不恆（如非隨陣）→正之。SDE 係病態→慮異離散法。

二：擇擬法

2.1 依程類擇宜算：

Process	Method	Key Property
DTMC	Direct sampling from transition row	Exact
CTMC	Gillespie algorithm (SSA)	Exact, event-driven
CTMC (approx.)	Tau-leaping	Approximate, faster for high rates
Random walk	Direct sampling of increments	Exact
Brownian motion	Cumulative sum of Gaussian increments	Exact for fixed dt
SDE (general)	Euler-Maruyama	Order 0.5 strong, order 1.0 weak
SDE (higher order)	Milstein	Order 1.0 strong (scalar noise)
SDE (stiff)	Implicit Euler-Maruyama	Stable for stiff drift
MCMC (general)	Metropolis-Hastings	Asymptotically exact
MCMC (gradient)	Hamiltonian Monte Carlo (HMC)	Better mixing for high dimensions
MCMC (conditional)	Gibbs sampler	Exact conditionals when available

2.2 SDE 法擇 dt 足小以數穩。試啟：始 dt = 0.01、半之至果穩。

2.3 MCMC 調提尺以納率約：

• 23.4% 為高維隨步 Metropolis
• 57.4% 為一維標
• 65-90% 為 HMC（依軌長）

2.4 若請減差→配之：

• 反變：各路隨增 Z、亦擬 -Z
• 層樣：分概空、各層內樣
• 控變：識相關量有知期以減差

得：擇配程類之擬算與宜調參。

敗：法不穩（如 Euler-Maruyama 散）→換隱法或減 dt。

三：行擬

3.1 配 n_paths 軌存、各長 n_steps（或為 Gillespie 等事件驅動法動配）。

3.2 各路 i = 1, ..., n_paths：

DTMC / 隨步：

• 設 x[0] = initial_state
• 各 t = 1, ..., n_steps：自轉分樣 x[t] 給 x[t-1]

CTMC（Gillespie）：

• 設 x[0] = initial_state、time = 0
• 當 time < T_max：
  • 計總率 lambda = -Q[x, x]
  • 樣留時 tau ~ Exp(lambda)
  • 樣次態自 Q[x, j] / lambda 為 j != x
  • 更 time += tau、記轉

SDE（Euler-Maruyama）：

• 設 x[0] = initial_state
• 各 t = 1, ..., n_steps：
  • dW = sqrt(dt) * N(0, I)（Wiener 增）
  • x[t] = x[t-1] + a(x[t-1], t*dt) * dt + b(x[t-1], t*dt) * dW

MCMC（Metropolis-Hastings）：

• 設 x[0] = initial_state
• 各 t = 1, ..., n_steps：
  • 提 x' ~ q(x' | x[t-1])
  • 計納比 alpha = min(1, p(x') * q(x[t-1]|x') / (p(x[t-1]) * q(x'|x[t-1])))
  • 以 alpha 概納：納則 x[t] = x'、否 x[t] = x[t-1]
  • 記納決

3.3 若 target_function 予→各路各態評之、存值。

3.4 行稀：留每 thinning 樣。

3.5 棄各路始 burn_in 樣（主於 MCMC）。

得：n_paths 全軌存於憶、可選函評。MCMC 納率於目範。

敗：擬生 NaN 或 Inf→減 SDE 之 dt 或察參。MCMC 納率近 0% 或 100%→調提尺。

四：行收歛診

4.1 追圖：繪某路各分量之值於時。目視穩（無趨、差穩）。

4.2 Gelman-Rubin 診（R-hat）：MCMC 多鏈：

• 計鏈內差 W 與鏈間差 B
• R_hat = sqrt((n-1)/n + B/(n*W))
• 收歛示於 R_hat < 1.01（嚴）或 R_hat < 1.1（寬）

4.3 有效樣大（ESS）：

• 估增滯之自相
• ESS = n_samples / (1 + 2 * sum(autocorrelations))
• 試則：ESS > 400 為可信後總

4.4 Geweke 診：比各鏈首 10% 與末 50% 之均。z 應於 [-2, 2] 為收歛。

4.5 非 MCMC 程：驗時均統（均、差）隨路長穩。繪行均。

4.6 報總表：

Diagnostic	Value	Threshold	Status
R-hat (max)	...	< 1.01	...
ESS (min)	...	> 400	...
Geweke z (max abs)	...	< 2.0	...
Acceptance rate	...	0.15-0.50	...

得：諸收歛診過閾。追圖示穩、混良鏈。

敗：R-hat > 1.1→行更長鏈或增提。ESS 甚低→增稀或換更佳樣（如 HMC）。Geweke 敗→延 burn-in。

五：計總統含信區

5.1 各關量（態占、函期、抵時）：

• 計點估為跨路樣均（過 burn-in 與稀後）
• 用 ESS 計標誤：SE = SD / sqrt(ESS)

5.2 建信區：

• 常近：estimate +/- z_{alpha/2} * SE
• 偏分→用百分自舉或批均

5.3 若用減差→計減差因：

• VRF = Var(naive estimator) / Var(reduced estimator)
• 報有效加速

5.4 Monte Carlo 積估：

• 報估、標誤、95% CI、ESS、函評數

5.5 分估：

• 計實百分（中、2.5、97.5）
• 連量用核密估

5.6 列諸總統與其不確。

得：點估含標誤與信區。減差（若用）生 VRF > 1。

敗：信區過寬→增 n_paths 或 n_steps。減差敗（VRF < 1）→閉之——控變或反變或不宜。

六：示軌與分

6.1 軌圖：繪代表樣路（5-20）於時。重疊用透明。

6.2 集統：覆均軌與跨路逐點 95% 信帶。

6.3 邊分：選時點繪態跨路之直方或密估。

6.4 穩分比：若析穩分有→覆於末時實直方。

6.5 自相圖：MCMC 繪各分量自相函（ACF）至宜滯。

6.6 診盤：合追、ACF、行均、邊密為一多板圖以全察。

6.7 諸圖存為向量（PDF/SVG）與點陣（PNG）為文。

得：版質之圖示軌為、分收歛、診總。析解（若有）配實果。

敗：示顯非穩或非期之多模→覆步一二察參或法誤。圖亂→減示路或增圖大。

驗

• 諸擬軌留於有效態空（無越界、無 NaN/Inf）
• DTMC/CTMC：實穩分收於析者（於期 Monte Carlo 誤內）
• SDE：半 dt 不質變果（收歛序察）
• MCMC：R-hat < 1.01、ESS > 400、Geweke z 於 [-2, 2]
• 信區寬隨 1/sqrt(n_paths) 減（中極限）
• 減差技生 VRF > 1（估改非劣）
• 重現：同種重行生同果

忌

• MCMC burn-in 不足：自劣始態需長 burn-in 乃樣代標分。常察追圖與用收歛診、勿猜
• 僵 SDE 之 Euler-Maruyama 不穩：漂大梯→明 Euler-Maruyama 散。換隱法或用適步
• 混 SDE 強弱收歛：強收歛測路誤（要於個軌）；弱收歛測分誤（足為期）。Euler-Maruyama 弱序 1.0 而強序 0.5
• 偽隨數質：甚長擬中、劣 RNG 或生相關樣。用善測者（Mersenne Twister、PCG、Xoshiro）並驗獨
• 忽 MCMC 自相：視自相 MCMC 樣為獨低估不確。常用 ESS、非原樣數、為標誤
• 非單調函之反變：反樣唯於估為下均勻之單調函時減差。非單調或增差
• 大擬之憶：諸長路全步存或耗憶。完軌不需示時、用線統（行均、差）

參

• Model Markov Chain — 予轉陣與析解、擬驗之
• Fit Hidden Markov Model — 自合 HMM 擬助後測檢與合資生