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name: evaluate-boolean-expression locale: wenyan-ultra source_locale: en source_commit: 82c77053 fence_basis_commit: 82c77053 translator: "Julius Brussee homage — caveman" translation_date: "2026-04-24" description: > Evaluate and simplify Boolean expressions using truth tables, algebraic laws (De Morgan, distributive, absorption, idempotent, consensus), and Karnaugh maps for up to six variables. Use when you need to reduce a Boolean expression to its minimal sum-of-products or product-of-sums form, verify logical equivalence between two expressions, or prepare a minimized function for gate-level implementation. license: MIT allowed-tools: Read Grep Glob WebFetch WebSearch metadata: author: Philipp Thoss version: "1.0" domain: digital-logic complexity: basic language: multi tags: digital-logic, boolean-algebra, truth-tables, karnaugh-maps, simplification

估布爾式

減布爾式至最簡：解析入正規、造真值表、施代數律、行 Karnaugh 圖簡（至 6 變），驗簡式邏等於原。

用

• 映布爾式於邏閘前之簡
• 驗兩布爾式邏等
• 生最簡 SOP 或 POS
• 教或閱布爾代數恒等與減技
• 備入予 design-logic-circuit 技

入

• 必：常記之布爾式（如 A AND (B OR NOT C)、A * (B + C')、A & (B | ~C)）
• 必：標式——最簡 SOP、最簡 POS、或兩者
• 可：K 圖之變序偏
• 可：無關條件（未定 minterm 或 maxterm）
• 可：較等之次式

行

一：解析歸正規

轉入式為標內表：

1. 分詞：識變（單字或短名）、算符（AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR）、括
2. 定記：全用一致——* 為 AND、+ 為 OR、' 為 NOT、^ 為 XOR
3. 計變數：列諸獨變。各賦位（默 A = MSB... Z = LSB，或用予序）
4. 展正規 SOP：引 X = X*(Y + Y') 以補缺變，展為諸 minterm 之和
5. 展正規 POS：或以 X = X + Y*Y' 展為諸 maxterm 之積

## Normalized Expression
- **Variables**: [A, B, C, ...]
- **Variable count**: [n]
- **Original expression**: [as given]
- **Canonical SOP (minterms)**: Sigma m(i, j, k, ...)
- **Canonical POS (maxterms)**: Pi M(i, j, k, ...)
- **Don't-care set**: d(i, j, ...) [if any]

得：式轉正規 SOP/POS，諸 minterm/maxterm 明列，無關條件分。

敗：式有語法誤或算符先級歧→請明。標先級：NOT（最高）> AND > XOR > OR。變 >6→K 圖步須改用 Quine-McCluskey。

二：造真值表

建全真值表以定函於諸入合之行：

1. 列行：生諸 2^n 入合，按二進計序（000、001、010...）
2. 計出：各行代值入原式並算出（0 或 1）
3. 標無關：若予無關條件→彼行標 X 代 0 或 1
4. 交察與 minterm：驗出 1 之行匹一步 minterm 列

## Truth Table
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | _ |
| 0 | 0 | 1 | _ |
| ... | ... | ... | ... |

得：全真值表 2^n 行，出匹正規式，無關正標。

敗：真值表與正規式不符→重察一步之展。常誤為展中誤施 De Morgan 律——各展獨驗。

三：施代數簡

以布爾代數恒等減之：

1. 恒等與零律：A + 0 = A、A * 1 = A、A + 1 = 1、A * 0 = 0
2. 冪等律：A + A = A、A * A = A
3. 補律：A + A' = 1、A * A' = 0
4. 吸收律：A + A*B = A、A * (A + B) = A
5. De Morgan 律：(A * B)' = A' + B'、(A + B)' = A' * B'
6. 分配律：A * (B + C) = A*B + A*C、A + B*C = (A + B) * (A + C)
7. 共識律：A*B + A'*C + B*C = A*B + A'*C（B*C 項冗）
8. XOR 簡：識 A*B' + A'*B = A ^ B 之模
9. 錄每步：每律後書式，注所用律

## Algebraic Simplification Trace
1. Original: [expression]
2. Apply [law name]: [result]
3. Apply [law name]: [result]
...
n. Final algebraic form: [simplified expression]

得：逐步減，各律有注，漸向簡式。踪為等之可驗證明。

敗：式不再簡而似非最簡→進四步（K 圖）。代數法不保全局最小——依律施序。

四：以 Karnaugh 圖最小

用 K 圖尋可證之最簡 SOP 或 POS（至 6 變）：

1. 繪 K 圖：軸以 Gray 碼排
   • 2 變：2x2 格
   • 3 變：2x4 格
   • 4 變：4x4 格
   • 5 變：雙 4x4（疊）
   • 6 變：四 4x4（疊）
2. 填格：置 1（minterm）、0（maxterm）、X（無關）於相格
3. 群鄰 1：成 1、2、4、8、16、32 之矩形群（僅 2 冪）。群可繞邊。含無關若擴群
4. 取素蘊：各群產一積項。群中常變入項；變者消
5. 選本素蘊：識僅一素蘊所覆之 minterm——彼素蘊為本
6. 覆餘 minterm：用最少增素蘊覆未覆之 minterm（須則 Petrick 法）
7. 書最簡式：合選素蘊為最簡 SOP。最簡 POS 則群 0 代之

## K-map Result
- **Prime implicants**: [list with covered minterms]
- **Essential prime implicants**: [list]
- **Minimal SOP**: [expression]
- **Minimal POS**: [expression, if requested]
- **Literal count**: [number of literals in minimal form]

得：最簡 SOP（且/或 POS），字最少，諸素蘊與本素蘊已錄。

敗：群歧（多最簡覆存）→列諸等最簡式。變 >6→換 Quine-McCluskey 表法或 Espresso 啟發並記法變。

五：驗簡式匹原

確簡式與原式邏等：

1. 真值表較：計簡式於諸 2^n 入並較二步真值表。諸非無關行須匹
2. 代數證（可）：以三步律從簡式推原（或反）
3. 察要況：驗全零入、全一入、及任關於巧簡步之入
4. 錄果：述等否並記末最簡式

## Equivalence Verification
- **Method**: [truth table comparison / algebraic proof / both]
- **Mismatched rows**: [none, or list row numbers]
- **Verdict**: [Equivalent / Not equivalent]
- **Final minimal expression**: [the verified result]

得：簡式於諸非無關入匹原。末最簡式明述。

敗：任行不匹→回 3-4 步查誤。常因：K 圖群誤（非矩或非 2 冪）、忘繞鄰、誤群 0 格。

驗

• 原式諸變皆計
• 正規 SOP/POS 列正 minterm/maxterm
• 真值表正 2^n 行出正
• 無關條件正處（入群而不必覆）
• 代數步各注特律並可獨驗
• K 圖兩軸用 Gray 序
• K 圖諸群皆矩且為 2 冪
• 本素蘊正識
• 簡式於諸非無關入匹原
• 末式字最少

忌

• K 圖鄰誤：忘最左右列（與上下行）於 K 圖中鄰。繞鄰於尋最大群必需
• 非 2 冪群：3 或 5 格相群。諸 K 圖群須恰 1、2、4、8、16、32 格。不規群不對應有效積項
• 忽無關：視無關為 0 而非用之擴群。無關於能減式時入群，然覆不必之
• 算符先級誤：設 AND 與 OR 先級同。標布爾先級：NOT > AND > OR。誤讀 A + B * C 為 (A + B) * C 而非 A + (B * C) 全改函
• 止於代數簡：代數法或尋局最小非全最小。必以 K 圖（>6 變用 Quine-McCluskey）交察確最
• 混 minterm 與 maxterm：minterm 為 SOP 中之 AND 項（積項）；maxterm 為 POS 中之 OR 項（和項）。3 變之 minterm m3 為 A'BC；maxterm M3 為 A+B'+C'

參

• design-logic-circuit — 映最簡式於閘級電路
• argumentation — 結構邏推，共形邏基